Soit $(X_i)_{i \in \mathbb{N}^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant une loi uniforme sur $\{-1, 1\}$. On notera : \[ S_n = \sum_{k=1}^{n} X_k \] 1. Montrer que pour tout $a>0$ et $t>0$ : \[ \mathbb{P}(S_n \geq a) \leq \mathbb{E}(e^{tS_n})\, e^{-ta} \] 2. Montrer : \[ \mathbb{E}(e^{tS_n}) = \cosh(t)^n \] 3. Pour tout $x \in \mathbb{R}$, montrer : \[ \cosh(x) \leq e^{\frac{x^2}{2}} \] 4. Obtenir une majoration de $\mathbb{P}(|S_n| \geq a)$.