Remarque : On suppose que l'ampoule est allumée le jour \(n\), alors \(X > n\) et donc la moyenne que l'on cherche à calculer est, implicitement, la moyenne pondérée par les probabilités, ce qui correspond à \(\mathbb{E} (X \mid X \geq n)\).

Déterminons déjà la probabilité associée :

\[ \begin{aligned} \forall k \in \mathbb{N}, \qquad \mathbb{P}(X = n + k \mid X > n) &= \frac{\mathbb{P}\big( X = n + k \cap X > n \big)}{\mathbb{P}(X > n)} \\[2mm] &= \frac{\mathbb{P}(X = n + k)}{\mathbb{P}(X > n)} \\[2mm] &= \frac{2^{-(n+k)}}{\sum_{i = n+1}^{+\infty} 2^{-i}} \\[2mm] &= \frac{2^{-(n+k)}}{2^{-(n+1)} \displaystyle\sum_{i=0}^{+\infty} 2^{-i}} \\[2mm] &= \frac{2^{-(n+k)}}{2^{-(n+1)} \times 2} \\[2mm] &= 2^{-k} \end{aligned} \]

Calculons à présent l'espérance recherchée :

\[ \begin{aligned} \mathbb{E} (X\mid X\geq n) &= \sum_{k=1}^{+\infty} (n-1+k)\times \mathbb{P}(X=n-1+k \mid X > n-1)\\ &= \sum_{k=1}^{+\infty} (n-1+k) 2^{-k}\\ &= (n-1)\sum_{k=1}^{+\infty} 2^{-k} + \sum_{k=1}^{+\infty} k2^{-k} \end{aligned} \]

Pour la somme de gauche, on reconnait, au terme pour \(k=0\) près, une série géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et, pour le terme de droite, une série géométrique dérivée de même raison. La première vaut \(\frac{1}{2}\times 2 = 1\) et la seconde vaut \(\frac{1/2}{(1-1/2)^2} = 2\). D'où :

\(\mathbb{E} (X\mid X\geq n) = n+1\)