💡 Il faut ici remarquer que, comme \(X\) et \(Y\) sont de même loi, alors \(\frac{X}{Y}\) et \(\frac{Y}{X}\) aussi. Dès lors \(\mathbb{E}\left(\frac{X}{Y}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{Y}{X}\right)\).

Remarquons ensuite que, comme \(X\) et \(Y\) sont à valeurs strictement positives, on peut définir les variables aléatoires \(\sqrt{\frac{X}{Y}}\) et son inverse. Alors, comme \((\sqrt{\frac{X}{Y}} + \sqrt{\frac{Y}{X}})^2 \geq 0\), alors par croisssance de l'espérance et en développant, on a :

$$ \mathbb{E} \left( \frac{X}{Y}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{Y}{X}\right) \geq \mathbb{E} \left(2\sqrt{\frac{X}{Y}\frac{X}{Y}}\right) $$

Alors, on a $\mathbb{E}\left(\frac{X}{Y}\right) = \mathbb{E}\left(\frac{Y}{X}\right)$ et en utilisant l'inégalité précédemment démontrée on donc :

\begin{align*} \mathbb{E}\left(\frac{X}{Y}\right) + \mathbb{E}\left(\frac{Y}{X}\right) &= \mathbb{E}\left(\frac{X}{Y} +\frac{Y}{X}\right)\\ &\geq \mathbb{E}\left(2\sqrt{\frac{X}{Y}\frac{Y}{X}}\right)\\ &\geq \mathbb{E}(2) =2 \end{align*}

On divise par deux et on obtient l'inégalité demandée :

$$ \fbox{$\mathbb{E}(\frac{X}{Y}) \geq 1$} $$