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Mécanique.

Le cours de mécanique est somme toute sommaire mais il convient de maîtriser parfaitement certaines notions et méthodes.

Position, vitesse, accélération

Repérer un objet dans l'espace peut se faire d'une infinité de manière différente. De fait, on peut choisir une infinité de triplet d'axes orthogonaux pour repérer un point de l'espace. Ainsi, la position est une notion relative, c'est-à-dire qu'elle dépend d'un choix, d'une convention. Un exemple classique est le choix de systèmes de coordonnées. Un point \(M\) peut être repéré dans les trois systèmes de coordonnées que l'on voit habituellement en prépa : les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.

Effectivement, un même vecteur peut être exprimé dans les différentes systèmes de coordonnées :

$$ \begin{align*} \overrightarrow{A} &= a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\\ &=a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_z \overrightarrow{e_z}\\ &= a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_{\phi}\overrightarrow{e_{\phi}} \end{align*} $$

Il existe un lien entre toutes ces grandeurs, mais ce qui est le plus important est que toutes ces écritures sont équivalentes. En d'autres termes, ces différentes expresssions sont différentes façons de désigner un unique vecteur dans plusieurs bases. En particulier, ces formules ne sont pas à retenir. Ce qu'il faut néanmoins savoir est comment changer de base.

Imaginons qu'on a \(\overrightarrow{A} = a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\) et qu'on veuille son expression dans la base \((\overrightarrow{e_r}, \overrightarrow{e_{\theta}}, \overrightarrow{e_z})\). Il est absoluement primordial de visualiser que le produit scalaire \(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_r}\) donne la projection de \(\overrightarrow{A}\) sur la direction définie par \(\overrightarrow{e_r}\). En d'autres termes, ce produit scalaire donne la "partie" de \(\overrightarrow{A}\) qui est selon \(\overrightarrow{e_r}\).

Méthode : Changement de base

Pour changer de base, on détermine la projection de \(\vec{A}\) sur chacun des nouveaux vecteurs de base. Alors :

$$ \overrightarrow{A} = \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_r})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_r}} \overrightarrow{e_r} + \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_{\theta}})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_{\theta}}} \overrightarrow{e_{\theta}} + \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_z})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_z}} \overrightarrow{e_z} $$

Quelques définitions s'imposent, bien que déjà vues dans le secondaire.

La vitesse du point M par rapport à O est définie par : $$ \overrightarrow{v} = \frac{d \overrightarrow{OM} }{dt} $$
L'accélération du point M par rapport au point O est définie par : $$ \overrightarrow{a} = \frac{d \overrightarrow{v}}{dt} = \frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2} $$
Attention, une erreur courante consiste à oublier que l'on n'a pas toujours : $$ \frac{d}{dt}\left[k(t)\overrightarrow{u}\right] = \frac{dk}{dt}\overrightarrow{u} $$ De fait, si le vecteur \(\overrightarrow{u}\) varie dans le temps (il peut tourner, avoir une norme qui varie…) alors il faut aussi le dériver. En particulier, comme les vecteurs \(\overrightarrow{e_r}\) et \(\overrightarrow{e_{\theta}}\) sont définis pour une position donnée, ils varient avec le temps. Il faut donc les dériver.

Mouvements classiques

Quelques qualificatifs qu'il convient de connaître sont employés pour qualifier un mouvement.

Un mouvement est dit uniforme si \(||\overrightarrow{v}||\) est constante.
Un mouvement est accéléré si \(||\overrightarrow{v}||\) croît, sinon il est décéléré.
On peut remarquer ici que dans le cas d'un mouvement uniforme, comme \(||\overrightarrow{v}||\) est constante, alors \(||\overrightarrow{v}||^2\) l'est aussi. Dès lors : $$ \frac{d}{dt}(||\overrightarrow{v}||^2) = 2\overrightarrow{v}. \frac{d \overrightarrow{v}}{dt} = 2 \overrightarrow{v}.\overrightarrow{a} \cos(\theta) = 0 $$ avec \(\theta\) l'angle entre \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{a}\). Ainsi, on remarque que si \(\overrightarrow{v} \neq 0\) et \(\overrightarrow{a} \neq 0\) alors nécessairement \(\theta = \pm \frac{\pi}{2}\). On retiendra que dans un mouvement uniforme, accélération et vitesse sont orthogonales.

Un mouvement très courant est le mouvement circulaire. Habituellement, on se place dans le plan du cercle, de centre noté O et de rayon \(R\), et on utilise les coordonnées polaires de centre O. Alors, le mouvement, comme il est contenu dans un plan (espace à deux dimensions), est décrit par deux paramètres :

$$ \begin{cases} r = R\\ \theta(t) \end{cases} $$
Comme le mouvement est sur un cercle, on a : \(r=R\). En particulier, on pensera au fait que, comme \(r\) est constant, ses dérivées temporelles sont nulles : $$ \begin{cases} \dot{r} = 0\\ \ddot{r} = 0 \end{cases} $$

On vérifiera que l'on connaît les formes des accélération et vitesse en coordonnées polaires pour une trajectoire circulaire.

Quantité de mouvement, force

La dynamique a pour objet d'identifier les causes et l'origine d'un mouvement. Pour cela, deux grandeurs sont centrales :

La quantité de mouvement d'un point matériel de masse \(m\) est définie à partir de la vitesse par : $$ \overrightarrow{p} = m \overrightarrow{v} $$

La quantité de mouvement d'un point matériel est une grandeur centrale de la mécanique car elle est liée à la resultante des forces appliquées au point matériel par le principe fondamental de la dynamique.

Le principe fondamental de la dynamique stipule que, dans un référenciel galiléen, la dérivée par rapport au temps de la quantité de mouvement du point matériel est égale (vectoriellement) à la résultante des forces. Autrement : $$ \frac{d \overrightarrow{p}}{dt} = \overrightarrow{F} $$
Le principe fondamental ne s'applique que dans des référentiels galiléens, qui sont une certaine classe de référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique. L'étude de la mécanique en référentiel non-galiléen se fait en deuxième année, on fera donc l'hypothèse d'être toujours placé dans un référentiel galiléen.
Forces à connaître absolument

Les exemples de force à connaître absolument sont les suivants :

Frottement solide

Dans le cas d'un mouvement d'un point matériel par rapport à un solide, les deux étant en contact, des frottements solides sont susceptibles d'apparaître. Dans ce cas, on écrit la force \(\overrightarrow{R}\) appliquée par le solide sur le point matériel selon :

$$ \overrightarrow{R} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{T} $$

avec \(\overrightarrow{T}\) la "partie" tangentielle à la surface de la force et \(\overrightarrow{N}\) la "partie" normale.

Pour traiter ce type de situation, on utilise les lois de Coulomb pour le frottement solide.

Les lois de Coulomb distinguent deux cas.

Dans le cas du glissement, la loi de Coulomb donne une équation supplémentaire qu'il convient d'utiliser pour résoudre le système.