Le cours de mécanique est somme toute sommaire mais il convient de maîtriser parfaitement certaines notions et méthodes.
Repérer un objet dans l'espace peut se faire d'une infinité de manière différente. De fait, on peut choisir une infinité de triplet d'axes orthogonaux pour repérer un point de l'espace. Ainsi, la position est une notion relative, c'est-à-dire qu'elle dépend d'un choix, d'une convention. Un exemple classique est le choix de systèmes de coordonnées. Un point \(M\) peut être repéré dans les trois systèmes de coordonnées que l'on voit habituellement en prépa : les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.
Effectivement, un même vecteur peut être exprimé dans les différentes systèmes de coordonnées :
$$ \begin{align*} \overrightarrow{A} &= a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\\ &=a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_z \overrightarrow{e_z}\\ &= a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_{\phi}\overrightarrow{e_{\phi}} \end{align*} $$Il existe un lien entre toutes ces grandeurs, mais ce qui est le plus important est que toutes ces écritures sont équivalentes. En d'autres termes, ces différentes expresssions sont différentes façons de désigner un unique vecteur dans plusieurs bases. En particulier, ces formules ne sont pas à retenir. Ce qu'il faut néanmoins savoir est comment changer de base.
Imaginons qu'on a \(\overrightarrow{A} = a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\) et qu'on veuille son expression dans la base \((\overrightarrow{e_r}, \overrightarrow{e_{\theta}}, \overrightarrow{e_z})\). Il est absoluement primordial de visualiser que le produit scalaire \(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_r}\) donne la projection de \(\overrightarrow{A}\) sur la direction définie par \(\overrightarrow{e_r}\). En d'autres termes, ce produit scalaire donne la "partie" de \(\overrightarrow{A}\) qui est selon \(\overrightarrow{e_r}\).
Pour changer de base, on détermine la projection de \(\vec{A}\) sur chacun des nouveaux vecteurs de base. Alors :
$$ \overrightarrow{A} = \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_r})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_r}} \overrightarrow{e_r} + \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_{\theta}})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_{\theta}}} \overrightarrow{e_{\theta}} + \underbrace{(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_z})}_{\text{projection de } \overrightarrow{A} \text{ sur } \overrightarrow{e_z}} \overrightarrow{e_z} $$Quelques définitions s'imposent, bien que déjà vues dans le secondaire.
Quelques qualificatifs qu'il convient de connaître sont employés pour qualifier un mouvement.
Un mouvement très courant est le mouvement circulaire. Habituellement, on se place dans le plan du cercle, de centre noté O et de rayon \(R\), et on utilise les coordonnées polaires de centre O. Alors, le mouvement, comme il est contenu dans un plan (espace à deux dimensions), est décrit par deux paramètres :
$$ \begin{cases} r = R\\ \theta(t) \end{cases} $$On vérifiera que l'on connaît les formes des accélération et vitesse en coordonnées polaires pour une trajectoire circulaire.
La dynamique a pour objet d'identifier les causes et l'origine d'un mouvement. Pour cela, deux grandeurs sont centrales :
La quantité de mouvement d'un point matériel est une grandeur centrale de la mécanique car elle est liée à la resultante des forces appliquées au point matériel par le principe fondamental de la dynamique.
Les exemples de force à connaître absolument sont les suivants :
\(\overrightarrow{u}\) étant le vecteur unitaire de direction l'axe du ressort orienté dans le sens de l'élongation.
Dans le cas d'un mouvement d'un point matériel par rapport à un solide, les deux étant en contact, des frottements solides sont susceptibles d'apparaître. Dans ce cas, on écrit la force \(\overrightarrow{R}\) appliquée par le solide sur le point matériel selon :
$$ \overrightarrow{R} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{T} $$avec \(\overrightarrow{T}\) la "partie" tangentielle à la surface de la force et \(\overrightarrow{N}\) la "partie" normale.
Pour traiter ce type de situation, on utilise les lois de Coulomb pour le frottement solide.
Dans le cas du glissement, la loi de Coulomb donne une équation supplémentaire qu'il convient d'utiliser pour résoudre le système.
L'idée principale ici est d'obtenir l'équation du mouvement, c'est-à-dire une équation qui caractérise entièrement le mouvement du système étudié. Pour ce faire, on peut utiliser trois principaux théorèmes, tous équivalents.
On considère un système de masse constante m en mouvement dans un référentiel galiléen. Alors, on a :
$$ m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \sum \overrightarrow{F} $$Quelques définitions à connaître absolument.
Quelques définitions à connaître absolument.
Habituellement, on peut trouver l'équation du mouvement de trois manières différentes : en utilisant à chaque fois un des théorèmes/principe précédents. Peu importe la méthode choisie, on suivra la même méthodologique qui permet de résoudre la plupart des exercices.
On considèrera un pendule simple de masse m comme exemple.
Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galliléen
Bilan des forces :
On calcule l'accélération comme vu plus haut pour un mouvement circulaire :
$$ \overrightarrow{a} = l\dot{\theta}^2\overrightarrow{e_r} + l\ddot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} $$On applique le principe fondamental de la dynamique :
$$ m \left[ l\dot{\theta}^2\overrightarrow{e_r} + l\ddot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} \right] = mg [\cos(\theta)\overrightarrow{e_r} - \sin(\theta)\overrightarrow{e_{\theta}}] -T \overrightarrow{e_r} $$En projetant sur \(\overrightarrow{e_{\theta}}\) et en divisant par m :
$$ \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0} $$Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galliléen
Bilan des forces :
On détermine le moment cinétique :
$$ \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v} = l\overrightarrow{e_r}\wedge m l\dot{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} = ml^2 \dot{\theta} \overrightarrow{e_z} $$Puis sa dérivée temporelle :
$$ \frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{dt} = ml^2 \ddot{\theta} \overrightarrow{e_z} $$On applique le théorème du moment cinétique ce qui nous donne en simplifiant par m et l :
$$ \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0} $$Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galliléen
Bilan des forces :
On détermine l'énergie cinétique :
$$ \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m \left(l\dot{\theta} \right)^2 = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 $$Puis sa dérivée temporelle :
$$ \frac{d\mathcal{E}_c}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\dot{\theta} $$On applique le théorème du moment cinétique ce qui nous donne en simplifiant par m, \(\dot{\theta}\) (qui est par hypothèse non-nul, faute de quoi on aurait tout simplement pas de mouvement) et l :
$$ \boxed{\ddot{\theta} + \frac{g}{l}\sin(\theta) = 0} $$Une force centrale est une force qui "pointe" toujours vers un point fixe O. Pour un système soumis à une telle force uniquement, on applique le théorème du moment cinétique :
$$ \frac{d \overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{dt} = \sum \overrightarrow{M}_O (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{0} $$En effet, étant orthogonale au movement (qui est selon \(\overrightarrow{e_{\theta}}\)), son moment est nul. De ce fait, le moment cinétique est constant, à la fois en norme et en direction. Comme la direction est constante et que le mouvement est compris dans le plan orthogonal au moment cinétique, le mouvement est plan. Comme la norme du moment cinétique est constante, on peut définir la constante des aires \(\mathcal{C}\) :
$$ \boxed{\mathcal{C} = \frac{\mathcal{L}_O}{m} = l^2 \dot{\theta}} $$La constante des aires est définie par :
$$ \mathcal{C} = l^2 \dot{\theta} $$Dans le cas d'un système soumis à une unique force centrale ou à un ensemble de forces centrales, le mouvement est plan et la constante des aires est bien une constante.
Considérons un système soumis à une unique force centrale \(\overrightarrow{f}\), qui plus est conservative. Ainsi :
$$ \delta \mathcal{W}(\overrightarrow{f}) = -d\mathcal{E}_p(M) $$En se plaçant en coordonnées polaires (le mouvement est plan, cf. plus haut), on exprime le déplacement élémentaire :
$$ \overrightarrow{dl} = dr\overrightarrow{e_r} + rd\theta \overrightarrow{e_{\theta}} $$Alors, le travail précédemment exprimé se réécrit :
$$ \overrightarrow{f}.\overrightarrow{dl} = f(r)dr = -d\mathcal{E}_p (M) $$Ainsi, l'énergie potentielle associée à \(\overrightarrow{f}\) n'est fonction que de r. La vitesse de notre système en coordonnées polaires s'exprime :
$$ \overrightarrow{v} = \dot{r}\overrightarrow{e_r} + r\dot{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} $$Écrivons donc l'énergie mécanique de notre système :
$$ \begin{align*} \mathcal{E}_m &= \frac{1}{2}mv^2 + \mathcal{E}_p (r)\\ &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m\underbrace{r^2\dot{\theta}^2}_{\frac{\mathcal{C}}{r^2}} + \mathcal{E}_p (r)\\ &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \underbrace{\frac{1}{2}m\frac{\mathcal{C}}{r^2} + \mathcal{E}_p (r)}_{\mathcal{E}_{p, eff}(r)}\\ \end{align*} $$Ainsi, l'énergie mécanique se met sous la forme de celle d'un système conservatif à un degré de liberté, moyennant le remplacement de l'énergie potentielle par l'énergie potentielle effective.